ACERCA DEL LEMA DE ZORN

ACERCA DEL LEMA DE ZORN

Antonio Belaunde Moreyra

Miembro de la Sociedad Peruana de Filosofía

 

Al maestro y benevolente amigo,

Profesor José Tola Pasquel

RESUMEN

Un equivalente al lema de Zorn es la negación de que para cualquier cota x exista en cualquier conjunto C una cota mayor.

La definición de círculo con la igualdad de los radios implica tal interpretación del lema de Zorn; con lo que éste queda demostrado.

El amateurismo en matemáticas es una aberración, o al menos así lo cree todo matemático profesional; ello no obstante yo lo he practicado buena parte de mi vida, previsiblemente, sin éxito o en todo caso sin recibir reconocimiento alguno. Pero eso no me amilana, como dijo, creo Don Ricardo Palma, soy camanejo y no cejo y es así que últimamente he incurrido en ciertas digresiones sobre un tema fundamental que anuncia el título de este ensayo, El lema de Zorn y sospecho que esta vez he sonado la flauta.

Max Zorn fue un muy importante matemático alemán de la primera mitad del siglo XX y su principal contribución, dentro del contexto de la teoría cantoriana de los conjuntos, es el apotegma que reza así:

“Si en un conjunto parcialmente ordenado toda cadena está acotada superiormente, el conjunto tiene un elemento maximal”.

Expliquémonos, para lo que tomo mi información de la Internet, la que a su vez la recoge de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

Un conjunto parcialmente ordenado se caracteriza porque tiene subconjuntos, también llamados cadenas, totalmente ordenados. El orden total es el determinado por una relación entre los elementos x, y, z, del conjunto tal que sea a la vez reflexiva, anti simétrica y transitiva; un inmejorable ejemplo de lo cual es la relación “igual o menor”.

En segundo lugar, cada cadena debe tener una cota superior, o sea debe tener algún elemento x que es mayor que cualquier otro elemento y de la cadena.

Pongamos un ejemplo: Tómese el conjunto N de los números naturales cerrado por un límite L arbitrario, digamos por ejemplo 10 elevado a su décima potencia. Para cada número primo habrá una cadena formada por sus múltiplos según la serie de los números naturales: 1, 2, 3, etc., etc., que van progresivamente agregándose dentro de la cadena. Estas cadenas, tendrán obviamente un orden completo y una cota superior dado el límite L que hemos impuesto al conjunto N. En N así cerrado debe cumplirse el Lema de Zorn. Pero veamos en más detalle en qué consiste éste.

Prescindamos ahora del conjunto N de los números naturales y hablemos en abstracto de un conjunto indeterminado C, el cual, claro, satisface las condiciones preestablecidas para el lema de Zorn.  En  términos  de lo que en lógica se conoce como el cálculo elemental de las funciones, este lema equivale a la afirmación siguiente:

1)   Existe en C alguna cota superior x tal que para cualquier cota y, o bien es menor que x o son iguales. A x se le denomina el elemento maximal.

El problema para nosotros es cómo dar a esta fórmula abstracta y un tanto difícil de entender un contenido intuitivo que haga posible aproximarnos a su justificación. Trataremos de lograrlo echando mano de tautologías del cálculo funcional ya aludido. Mediante una regla de cuantificación de variables se obtiene.

2)   Existe alguna cota x para la que es falso que existe otra cota y, tal que ni y es menor que x ni son iguales.

A esta altura es obvio que la expresión: “x no es menor que y ni son iguales” equivale lógicamente a “y es mayor que x”.

Volvamos a las leyes de cuantificación, para obtener la siguiente fórmula.

3)   Es falso que para todo x exista algún y, tal que y sea mayor que x.

Aquí ya estamos pisando terreno más firme. Para compulsar la fórmula tres neguémosla, lo cual da:

Para todo x existe un y, tal que x es menor que y.

Si se tratase de valores numéricos cualesquiera, desde los números naturales hasta los reales, el precedente enunciado sería impecable; pero no se trata de eso.

Las variables x e y representan cotas superiores dentro de ciertas cadenas del conjunto C. Es cierto que pueden darse ocasionalmente valores x e y para los cuales dicho enunciado sería válido; pero de allí a pretender el generalizar la desigualdad que esa fórmula contiene para todo valor x, cualquiera que sea, hay un abismo insalvable. Procede por lo tanto denegarla, tal pretensión no tendría sustento ni fundamento alguno, con lo cual se vuelve a la fórmula 3.

Pero ésta fórmula 3 es una transformación tautológica de la fórmula 1, que expresa el lema de Zorn. Así pretendemos haber demostrado dicho lema por la vía indirecta de la reducción al absurdo de su contradictoria, o sea mediante la exclusión de tercero, el célebre Tertium Nom Datur, que es uno de los principios fundamentales de la lógica.

Debo agregar por si acaso que si alguien creyera apresurada nuestra aserción de la fórmula 3, me viene ahora en mente un ejemplo de vigencia del lema de Zorn que ha proporcionado mi fuente de información, la Libre Enciclopedia Universal. El ejemplo es como sigue: dado un círculo cualquiera cada uno de sus radios es una cadena según la distancia a la que sus puntos se encuentren del centro, y en su extensión total cada radio es una cota mayor. Como todos los radios de un círculo son iguales no existe en el círculo una cota que sea superior a las demás con lo cual se justifica nuestra fórmula 3. Es decir, la Enciclopedia nos proporciona un modelo sencillo y común, yo diría trivial, que exige perentoriamente la vigencia de la fórmula 3.

Así hemos consumado nuestro propósito de demostrar el lema. Salvo error u omisión el objetivo se ha alcanzado.

Deo gratias

Ampliación.-

Nos hemos servido de un sencillo modelo geométrico, el círculo, para confirmar nuestra demostración del Lema de Zorn. Lo dicho por nosotros basta pero quizá no sobra ser todavía más explícito.

Veamos. Un círculo es, como ya sabemos, un conjunto que satisface las condiciones del modelo de Zorn, y tiene una ley específica, que puede pasar por su definición: dado un radio del círculo todos los otros radios le son iguales. Ello nos permite afirmar la proposición:

4)   Existe x tal que para todo y, x e y son iguales.

Esta proposición obvia implica la proposición 3, con lo cual  queda archireiterada nuestra demostración del Lema, así se ilustra el dicho: lo que abunda no daña.

A.M.G.D.

ANEXO EN EXPRESIÓN FORMALIZADA

C es un conjunto cualquiera que satisface que satisface las condiciones del lema de Zorn. X e y son cotas mayores en C.

Fórmula 1:

                         (∃ x) (∀y) (y<x v x=y)

Fórmula 2:

                         (∃x) (∃y) (y<x & x=y)

Fórmula 3:

                          (∀x) (∃y) (y>x)

Fórmula 4:

                        (∃x) (∀y) (x=y)