TIPOS LOGICOS Y PARADOJAS

¿ESTÁ LA TEORÍA DE LOS TIPOS LÓGICOS

LIBRE DE PARADOJAS?

Antonio Belaunde Moreyra

 

A quien me indujo a estudiar la lógica moderna,

El profesor Francisco Miró Quesada Cantuarias.

Al ingresar a la Sociedad Peruana de Filosofía si mal no recuerdo hacia 1971, presenté una ponencia sobre el tema de la paradojas lógico-semánticas, una parte de la cual estaba destinada a demostrar que dentro de los tipos lógicos con que Russell y Whitehead pensaron resolver el problema de la paradojas, puede construirse una paradoja muy similar a la célebre paradoja llamada de Russell, que sin duda era la principal de toda la serie de las antinomias que plagaron la lógica matemática al principio del siglo XX. Recordémosla brevemente:

Prima facie hay conjuntos que se contienen a sí mismos y otros que no se contienen a sí mismos. Sea Q el conjunto de los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Surge de inmediato la cuestión de si Q se contiene o no se contiene a sí mismo, pero cualquier respuesta que se de a esta pregunta implica su contradictoria.

Es sabido el efecto desolador que la comunicación de este hallazgo produjo en el célebre matemático alemán, Gotlob Frege, quien creyó amenazado por ella su enorme esfuerzo de formalización de la lógica y la aritmética, el propio Russell propuso la salida en la forma de lo que llamó “la teoría de los tipos lógicos”, o sea una estratificación formal del dominio del lenguaje en la cual ningún conjunto podría contenerse a sí mismo, porque sólo puede ser miembro de conjuntos de “tipo” superior. Este postulado de estratificación lo completó Russell con uno que llamó de “ambigüedad sistemática”, según la cual los términos puramente lógicos, es decir lo que la antigua escolástica llamaba términos “sincategoremáticos”, inclusive por ejemplo la relación “ser miembro de un conjunto dado” tienen un valor o significado constante en los diferentes niveles o tipos.

El supuesto básico de Russell es que su paradoja era el resultado de la autoreferencia, es decir de admitir un uso reflexivo de la relación “ser miembro de un conjunto dado”, rechaza así la reflexibilidad o uso autorreferencial de esa relación la paradoja debía quedar salvada.

Pero he aquí que Russell  se dio cuenta que ciertos teoremas básicos del análisis matemático indispensables para precisar la noción de la continuidad, comporta una autoreferencia de conjuntos. Para salvar este segundo escollo Russell formuló lo que llamó el postulado de la “reductibilidad”, el cual hacía que mediante la noción de ambigüedad sistemática se permitiesen ciertas aplicaciones no paradojales de la autoreferencia.

No vamos a discutir esto ahora, sino antes bien mostrar que no es propiamente la autoreferencia de la relación de pertenencia a conjuntos la causante de la paradoja, más bien es el uso negativo de cualquier función reflexiva lo que produce una paradoja, cosa que se ilustra con el célebre caso del barbero del regimiento que debe afeitar a todos los miembros de tal regimiento que no se afeitan a sí mismos. ¿Debe el barbero afeitarse o no por su propia mano?

Ahora bien, en la ponencia a que me he referido al comenzar este escrito yo pretendía construir una paradoja de uso negativo de la autoreferencia dentro de la propia teoría de los tipos lógicos, me permito citarme textualmente;

“3.1 Sea C2 la clase de todas las clases del nivel 1, y sea C3 la clase de todas las clases del nivel 2.

Entre ambas puede establecerse una relación de correspondencia, la que puede definirse por el hecho de que sus definiciones sólo difieren por la indicación de los niveles respectivos. En lo demás, son formalmente idénticas. Ahora bien, sea A3 la clase de todas las clases del nivel 2 que tienen correspondientes en otros niveles cualquiera que ellos fueren, e igualmente, sea A4 la clase de todas las clases del nivel 3 que tienen correspondientes en otros niveles. Asimismo, sea B3, B4, etc. Las clases de todas las clases de los niveles 2, 3, etc., que son miembro de su correspondiente en el nivel inmediato superior. Las respectivas clases complementarias son D3, D4, etc. Ahora bien, si D3 es miembro de D4 entonces debe ser miembro de B4, y viceversa, lo que es una nueva clase de paradoja, ya que las clases complementarias no pueden tener miembros en común”.

El único de los filósofos presentes que de alguna manera objetó este argumento mío, fue un destacado profesor quien no rechazó el fondo de mi argumentación, sino se limitó a decir que cualquier intento de formalizarla sería imposible. Yo le respondí que si eso era así, entonces el principio de ambigüedad sistemática carecería de eficacia y significación tanto lógica como matemática, y por vía de consecuencia el postulado de reductibilidad no podría ser válido.

La cosa quedó allí, ninguna de las partes abandonó sus respectivas posiciones de modo que puedo considerar que tal es todavía el estado actual de la cuestión. Me permito sin embargo revivirla en vista de que acaso la posibilidad que un andamiaje logístico erigido como arbotante para impedir el derrumbe del edificio lógico formal esté a su vez corroído por una paradoja construible e infiltrable dentro de él.

Qué solución ha de tener todo este asunto, eso debe quedar para otra oportunidad.

Lima, 23 de julio de 1997.